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アルキメデスの補助定理の15番(これが最後、全部で15個です) [archimedes]

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 ってことで,14番は飛ばしました。塩入れの問題という奴でして。

 それよりなにより,ご無沙汰です。黄金週間休みというよりは,花粉症その他諸々で頭が痛かったのです。
ではでは,問題を

 ABを円の直径とします。ACはこの円に内接する正五角形の一辺とします。Dを弧ACの中点とし,CDとABの延長線との交点をEとします。また,ACとBDの交点をFとし,FMをABへの垂線とします。このとき,EMはこの円の半径となります。



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アルキメデスの補助定理の13番 [archimedes]

さてさて,大詰めでしょうか。
いわゆる靴屋のナイフ系の問題をすっ飛ばしているので,まだまだかな?
とにかく次の補助定理です。

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 AB直径とする円を考えます。直径ABと点Eで交わる弦をCDとします。ただし,CDは直 径ではないものとしましょう。AM,BNを弦CDへの垂線とするとCN=DMが成り立ちます。


です。どうだろう。面白い。

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アルキメデスの補助定理の12番 [archimedes]

 今日は12番。順に紹介しているのでもう残りわずかです。

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 ABを半円の直径とします。TP,TQは半円の外部の点Tから半円への接線とします。AQとBPが交わるとき,交点をRとします。このとき,TRはABと垂直になります。


 うーん。何の役に立つのだろう?っていうことも考えたくなります。でも面白い。別段むずかしいというわけでは無いのです。なぜ,これらの定理が集められたのかですね。そこが知りたい。
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アルキメデスの補助定理の11番 [archimedes]

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さて,いよいよ11番目の補助定理です。

なんでぶっ飛ぶのかな?テキストがぶっ飛んでますね。

 円の弦AB,CDは互いに直交し,いずれも中心を通らないものとします。このとき,ABとCDの交点をOとすれば, OA,OB,OC,ODの自乗の和は,円の直径の自乗に等しい。
 
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アルキメデスの補助定理の9番の証明の図 [archimedes]

 さて,昨日の補助定理9番ですが,証明は至って簡単明瞭です。まずは図をご覧下さい。

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 昨日の図に弦に直交する直径を引きます。このとき,同じ長さの弧が3組?確認できますか?
 そうすると,補助定理は明らかになるでしょう。
 定理自身も明瞭簡明ですが,この証明もまた簡単明瞭一目瞭然。円だから直径を意識する。どうせなら直交がいいかな?という感じでしょうか。所謂補助線というより,分析する為に何をするのかっていう,とても良い教材ではないでしょうか。そう言う意味でも,この補助定理集!編纂が見事です。やはり,編者の意図とどのように使われたのかっていう点が気になります。
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アルキメデスの補助定理の9番 [archimedes]

 これも美しいシンプルな定理です。美しいものを集めてある意図は何だったのでしょうか。とにかく御紹介。

 円の直交する2本の弦をAB,CDとするとき,弧ACと弧BDの長さの和と弧ADと弧BCの長さの和は等しい。

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三番目の補助定理 [archimedes]

 さて,Book of Lemma(補助定理集?)と呼ばれる書物はどのようにして伝わったのでしょうか。アラビアの学者がアルキメデスの業績からまとめたものだとか。それにしては定理の数は少ない。現物(そのアラビアの書物)を観てみたい。archimedesの著作についてはPalimpsestというものがあって,現在解明研究サルベージが進行中とか。そう言う意味では愉しみです。

 というわけで,第三弾。どうぞ。

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円弧AB上の点Pに対して,点Pから弦ABに下した垂線の足をHとします。AB上に点CをAH=HCとなるようにとります。円弧PQを円弧APと等しくなるように点Qを円弧PB上にとると,BQ=BCとなります。

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これもなかなかに美しいとは思いませんか?そうですか。いやはや,なんとも。
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アルキメデスの補助定理の2番 [archimedes]

土日と?サボってしまいました。なかなか毎日の更新というのは難しいものだなあと熟思いました。って熟は「つくづく」を林檎ちゃんが変換したわけですがこれは知らなかった。って話はおいといて,

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ABを半円の直径とします。点Bでの接線と,この半円弧上の点Cでの接線の交点をTとします。点Cから直径ABに下した垂線の足をDとし,ATとCDの交点をEとすると,EはCDを二等分します。

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簡単だけど美しいLemmaです。教科書的な配列で,古のアラビアの数学屋さんの工夫?に興味津々。
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アルキメデスの補助定理の1番 [archimedes]

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 2つの半径の異なる円が点Aで接していて,BC,DEはそれぞれの円の直径で お互いに平行であるとすると,3点A,B,Dは直線上にある。

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です。なかなか面白い。


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