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アルキメデスの補助定理の8番 [ロバの耳]


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さて,ストックからの放出が続きます。今晩は補助定理の8番。何故番号が飛ぶのかと言うと,4番から6番はいわゆる「靴屋のナイフ」という有名な問題なので後回し。7番もあるけど,今ひとつパッとしない。で,8番です。これってもしかして角の三等分?って感じの面白い定理です。

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 ABをOを中心とする円の弦とします。ABを延長し,BCが円Oの半径と等しくなるようにとります。COと円Oの交点をD,更にCOを延長して再び円Oと交わる点をEとします。このとき,弧AEは弧BDの三倍になります。


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計算問題? [ロバの耳]

 さてさて,これもBook of Lemmaの練習題です。

半径3で中心角90度の扇形OABを考えます。ここでOは扇形の基になる円の中心とし,ABは円弧としましょう。
円弧ABを三等分する点のうちAに近いものを点Cとします。CからABに下した垂線の足をHとし,点Hに関してAと対称な点をPとするとき,OPの長さを求めて下さい。

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これも一応 [ロバの耳]

ArchimedesのBook of Lemmaを折角訳してテキストにするからと,自前で作った問題(の筈)です。如何?

【問題】
ABを直径とする円において,図のように直径ABと直径に垂直な弦をCDとします。点Bでの円の接線と,点Cでの円の接線との交点をPとし,APとCDの交点をQとしましょう。このとき,CQ:QDを求めなさい。
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これはまた違う感じ [ロバの耳]

面積の比ですが,印象はチェバメネラウス?春木系?かなあ。

とにかくこのサーバーの調子が変でこんな時間になりました。
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問題はこんな感じ。やっぱり分数式があるので,テキストではなくTeXを画像にしたものです。
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確か春木さん関係なはずだけど・・・ [ロバの耳]

円と六角形のチェバの定理のような定理なんです。

texshop_image_240.jpgtexshop_image_360.jpg

例によって証明はまた別の機会に。今回は分数が出てくるので問題もTeX文書の切り抜きで。Mac上のTeXなんですが,ファイル自体はWindowsでも何でも処理できます。でもMac上のシステムだと最終はpdfに処理されます。で,それを切り抜いたpdfなんてのが簡単にできて,そいつをjpegで保存して,適当な大きさにリサイズしてます。


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これもまた [ロバの耳]

texshop_image_344.jpg
某所で見掛けた問題です。有名なのだろうか。図書館で調べると案外載っていたりして。
とにかく問題は次の通りです。

 図のように円Oと円周上の点Pで接する直線Lを描きます。 円Oの中心とPを結ぶ線分を直径とする円Aを描き,円Aに外接して,円Oに内接する円Bを描きます。 円Bと円Oの接点をQとして,円Oに点Qで外接し直線Lに接する円Cを描きます。
 このとき,円AとBに外接し円Oに内接する円のうち直線Lに近い方の円をX, 円CとOに外接し直線Lに接する円のうち点Pに近い方をYとすると, 円Xと円Yは(円Oの円周上の点で)接することを説明して下さい。


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できるかな(Can You? その2) [ロバの耳]

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 さてさて,しばらく間が空きましたが。別段飽きたわけではありません。ネタもまだまだありますので,備忘録代わりに。前回苦し紛れにテキストだけで出題した問題ですが,きちんと?TeXで打ち直しました。その内の図の部分は画像で,問題文は以下に載せます。

 図のように点Aから円Oに2本の接線を引きます。点BとCは接点。線分ABの中点MからCに直線を引きます。円とこの直線MCとの交点をDとしましょう。  三角形ADCの外接円は直線ABに接することを説明して下さい。


 さてさて,如何でしょう。

 このような図をTeXで描く為のqbGraphという自家製のMacro集なんですが,作図するにあたっては,基本的に点の設定をしたあとは,分点や垂線の足,2点からの距離で点を決める(つまり,2つの円の交点)などの,いわゆる作図(直定規とコンパスによる作図)が基本なんです。この問題の図の場合,適当に点AとOを決めて,円Oの半径を決めて,Aから円Oへの接線の接点が決まり,直線ABやACを引いて,ABの中点Mをとって,・・・。

 その次に,MCと円Oとの交点Dはどのようにとるでしょうか。実は今回は,OからMCに垂線を下ろし,その足をNとして(図示はしていません),Nに関してCと対称な点をDとしています。これって問題のヒントですか?そーですか?いや,違いますか?

 ってこのあたり「作図の要領をいろいろ知りたい」がこのblogの動機なんですって言う話です。自家中毒?

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某所でずっと以前に観た問題。検索し易いように「Can You?」 [ロバの耳]

点Aから円に2本の接線を引く。 点BとCは接点。 線分ABの中点からCに直線をひく。 円とこの直線との交点をDとする。 三角形ADCの外接円は直線ABに接することを説明してチョ。
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Googleの問題(その10) [ロバの耳]

いちおう解説?作り置きのpdfを置きました。ご覧下さい。
約束のMobius変換ものも。ではどうぞ。
解説ここです。texshop_image_240.jpg

どれほど置けるのか?フリーのWikiサーバーですから判りませんが(ちゃんと説明読めって?)しばらくはここに置く事にしましょう。原本はあるので,まあ捨てられても大丈夫ですし!?ね。
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Googleの問題(その9) [ロバの耳]

今朝のホール入り(謎!?)は少し遅いので,朝のうちに昨日の作図の手順の確認を。
御題は「2つの点を通り,1つの円に接する円」の描き方です。
今日の所は,2点と円の位置関係は詮索せずに,図の状況から進めます。
texa240.jpg

まず,2点を通り円と交わる(接するではなく)円を描きます。図の方では,円の中心を通るように描いていますが,実は中心を通る事には意味はありません。ただ,描き易かったから・・・とまあ強いて言えば見栄えが美しいからこう描いてあります。その分誤解が生じる恐れがあるというわけですが・・・。
texb_240.jpg

作図としては,2点の垂直二等分線を描き,その上に適当に点を取り,交わるように描けば良いわけですね。

texc_240.jpg
で,次は新しく特定された2点,つまり,元の円と交わる円との2つの交点を通る直線を描き,元の2点を通る直線との交点をとります。

このとき,図の方は2つに分けたので判り難いのですが,方冪の定理から,図の記号でいえば,FA・FB=FD・FEが成り立ちます。

texd_240.jpg
次に,その交点から,元の円に接線を引きます。このときにとる接点のどちらか一方と,元の2点を通る円を描けば,それが求める円となります。

texshop_image_320.jpg
これはやはり方冪の定理とその逆(これっていちいち断る必要って本当にあるのだろうかと思ったりします。いや,実際の話。)から判る事ですが,図の記号で言えば,FP(あるいはFQ)の自乗=FA・FB=FD・FEが成り立つことから確認できると言う具合です。

さて,この9回(ありゃりゃ)で最終的にGoogleの問題(GLAT)を解決する道具立てが揃いました。次回は,答えまで一直線の作図を示してみましょう。ではでは。




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Googleの問題(その8) [ロバの耳]

texa240.jpg texb_240.jpg texc_240.jpg texd_240.jpg texshop_image_320.jpg ごめんなさい。今日は疲れて,画像を上げるのが精一杯。おやすみなさい。 描き方の解説と, なぜこれで良いのかはまた明日。(とはいえきっと明日はダウンしている筈です。)
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Googleの問題(その7) [ロバの耳]

texshop_image_320.jpg
さて,それでは解説です。
方冪の定理から,OA・OD=OM・ONです。
図のように,点Aを通り,2円B,Cに接する円Xを想定します。
円B,Cとの接点をP,Sとし,PSと円Cの交点をTとしましょう。
このとき,三角形XPSとCTSは相似な三角形になります。(さあて何故だか判りますか?)
このことから角XPSは角CTSと等しくPXとTCは平行になり,PSとBCの交点が相似中心Oになることが判ります。
次に,円CとBCとのNではない方の交点をN’とすれば,角OPMは角OTN'に等しく更に角SNOに等しいので,
4点PSMNは同一円周上にあります(四辺形PSMNは円に内接します)。
よって,また方冪の定理よりOP・OS=OM・ONが成り立ちます。
従って,OP・OS=OA・ODは成り立ち,円Aは2点A,Dを通る事が判ります。

さて,次回は「2定点を通り定円に接する円の作図」です。ではまた!



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Googleの問題(その6) [ロバの耳]

texshop_image_240.jpgさて,今日の御題は,「一点を通り,2つの円に接する円を描く」です。

早速手順を説明しましょう。

まず,2つの円の相似中心(共通接線の交点)の1つをとります。
texsあ.jpg

次にこの相似中心と2つの円の中心を結ぶ直線と2つの円の交点のうち,2つの中心に対して同じ側(外側か内側ですね)にある2点をとります。
texsい0.jpg

元の点と,この2点を通る円の中心をとり円を描きます。
texsう.jpg

この円と相似中心と元の点を結ぶ直線との交点のうち元の点でないものをとります。

この点と元の点を通り,元の2つの円のどちらかに接する円を描けばそれが求める円となります。
texshop_image_240.jpg
従って,「2点を通り1つの円に接する円」が描ければ解決と言うことになりました。

とはいえ,なぜこれで,1点を通り2円に接する円がかけているのでしょう。

この事が判る為には方冪の定理を知っている必要があります。

というわけで,次回は何故,「この点と元の点を通り,元の2つの円のどちらかに接する円を描けばそれが求める円となります」となるのかを明かしてみましょう。

ちなみに,この描き方が初等幾何では基本ではありますが,反転を使えばもっとあっさり済みます。既に「丹後のページ」さんで紹介されていますが,こちらも当然用意してあるので,またいずれ載せましょう。

反転はメビウス変換とも言います。ポアンカレ予想で重要な役割を果たしたサーストンの本にはこのメビウス変換についての解説?(ちょっと違うか!)があります。とはいってもどの本だろう。講義録だったのかなあ。




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Googleの問題(その5) [ロバの耳]

Google研究所の問題
「三角形ABCに対して,点Pをとり,3つの三角形ABP,BCP,CAPの周の長さが等しくなるようにしたい。このような点が存在するとして,点Pを作図しなさい。」
の5回目です。大筋の解法は既に描きました。今日は,作図の詰めです。

最初に復習をしておきましょう。作図の筋書きは次の通りです。

texshop_image_240.jpg

三角形ABCの内接円の中心Iをとる。(これは角の二等分線の作図ができれば,それらの交点ですから基本中の基本ですね。)

Iから,3辺へ垂線を下ろしてその足をとる。(一点から直線への垂線の作図。これも基本中の基本ですね。)

A,B,C(各頂点)を中心として,垂線の足を通り互いに接する3つの円を描く。

※今日の御題 その3つの円に外接する円(の中心)を描く。(これが何故題意を満たすかは,昨日の記事を参照の事)

でした。さて,ではどのようにして,この3つの円に接する円を描くかです。
この問題は,ペルガのアポロニウス(小アジアの町ペルガ生まれ)という紀元前2〜3世紀のギリシャの数学者がまとめています。アポロニウスは昨日も書いたように「アポロニウスの円」の人です。

もちろん,数学の人ですから,3つの円に接する場合をきっちり場合分けしてまとめたようですが,今回必要なのは,3つの円に外接する場合です。

a240.jpg

このような円の中心Xを中心として,例えば点Cを通る円を考えてみましょう。
このとき,
bge_240.jpg
のような関係に気がつきます。つまり,「3つの円」に接するっていう丸い円が3つもある問題から,「1点を通り2つの円に接する円」という円が2つの問題にすり替えることができるわけです。この調子で,円を減らす事が出来れば,最終的には「三点を通る円」という作図の基本に到達できるのではないでしょうか。

そこで,次は,「1点を通り2つの円に接する円」を作図する方法が問題となります。
これについては,また次の稿で。
texshop_image_240.jpg

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Googleの問題(その4) [ロバの耳]

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 という問題ですが,昨日も書いた通り,次のような作図で,条件を満たす点P(次の図ではX)を描く事が出来ます。

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 さて,何故このような点(つまり,三角形の3つの頂点を中心とする三つの円に外接する円の中心)をとれば,
題意を満たすのかは,次の通りです。

texshop_image_480.jpg

 やはり字が小さいのでクリックして下さい。
少しは読み易い画像になる「はず」です。

 思うに,Google研究所の求める答えは,ここまでではないのかと思います。
このあと,つまり,三つの円に接する円の描き方については,
色々あるようです(すでに丹後氏のページで1つの描き方を示して戴いてます。まだ検証はしていません。観ただけです。)が,そこはそれほど拘る必要も無いような。面白いのですが。

 明日からは,この作図法の代表格「アポロニウスの方法」について,順を追って観てみます。
アポロニウスと言えば,軌跡で教わったアポロニウスの円が思い浮かぶぐらいで,
作図なんて知りませんでした。
というわけで,単なる解説が続きます。
できれば,コンパスや定規を用意して,実際に紙の上で遊んでみるのがお勧めです。
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Googleの問題(その3) [ロバの耳]

 GLAT(Google Labs Aptitude Test)というようです。文字通りググってみてください。
解法です。
(最初の手順)  まず,与えられた三角形の内心をとり,内心から各辺に垂線を下ろしその足をとります。
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 それから,三角形の頂点を中心に内心からの垂線の足を通る円を描きます。
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 さて,何故でしょうか。 とはいえ,答えの図は既に上げましたから, 考えてみて下さい。

 では,続きをお楽しみに。
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Googleの問題(その2) [ロバの耳]

Googleの問題

三角形ABCに対して,三つの三角形ABP,BCP,CAPの周の長さがすべて等しくなるような点Pを作図しなさい。 ただし,コンパスと直定規のみで。 三角形ABCに対してこのような点Pが存在する事は前提として下さい。


さて,もちろん原文は英語ですから,この訳は私の適当訳です。
適当ですからもちろん良い加減な筈です。

昨日は,この問題の点Pを示す図を付けましたが,
ちょっとそれは面白くなかったかも。
反省してます。
素の三角形ABCから点Pを探ってみて下さい。

明日から一手一手,私が辿った手順を,着想と共に解説していきます。
僕らの世代はいわゆる「作図」について学校では殆ど教わっていないので,
結構大変で面白い探求でした。

解説を見る前にどんどんとコンパスと定規を使って遊んでみて下さい。

今日はそういうわけで図はありません。
って書いたのは,なぜだか昨日はMacのSafariで画像のアップロードが出来なかったからなのですが。
丁度,最新版にしたところで,不具合だったのか?それともSo-netの不具合か・・・。
と思ってたら,今日はすんなりできました。

あまり載せる意味は無いんですが,こんなのでどうぞっていうことで,
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Googleの問題 [ロバの耳]

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とうわけで,今日は「かの有名な」Googleの問題。
Googleが有名!ってのと,この問題が,Googleの研究所(ラボ)の試験に出たって話が有名って掛詞。
御題は
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ちょっと字が小さいかな?読めるだろうか。
作図問題。
この問題1つに色々と面白い話が詰まっているので
それを順次紹介していきます。

図!はばっちり解答!になっているのですが・・・。
さてさて。お判りになるだろうか?みなさま。
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春木の定理(その2) [ロバの耳]

とはいっても実は昨日の定理と同じです。
いや,図が違うよって?
そうなんですけど,よく見て下さい。
ね?同じでしょ?わかんない?

texshop_image_240.jpgtexshop_image_200.jpg

わかったかなあ。
つまりね,
昨日の春木の定理とは円の数が違うって言いたいかもしれないけど,
無限遠点を付ければ直線も円なんだよなあ。
ってなわけで,同じなの。
うーん。難しいかなあ。
反転すれば同じ・・・でも一緒か。
自分で調べるか,誰かに聞いてみてチョ。

ってまあこれもまたいつか解説するけど!ね。

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春木の定理 [ロバの耳]

08-03-16_14-00.jpgとりあえず今日は朝から仕事ですから…写メで。いずれlatex-pdf-jpeg版を…(って証明や解説もそうだけどね。所謂備忘録代わりのだし!)

春木博という日本人の数学者は阪大の後ワーテルロー大の教授。微分幾何/方程式論が専門だと数年前に調べましたが、よく判りません。

図は春木の定理。他にもそう呼ばれる別の初等幾何の定理があります。

チェバやメネラウスの定理みたく比の積が1になるというもの。

図では、AE×BF×CDとAF×BD×CEの比が1です。

証明は極線(二つの円の交点を通る直線)を利用します。ただし「3円の三本の極線は一点で交わる」という事を使いますからこの事を判って/知っている必要があります。いやはやマドロッコシイですが念の為。
当然細かい解説は後ほど…

というわけで,奇麗な(ましな)画像をどうぞ。
texshop_image_200.jpgtexshop_image_300.jpg

タグ: 初等幾何
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春木の補題 [ロバの耳]

 表題通り「春木の補題」です。日本での知名度は低いようですが,海外での中等教育では触れられる事が多いのでしょうか,多くの解説がみつかります。日本人の発見した比較的面白くて簡単で有用な定理だと思いますが,なぜ知らないのでしょう?勉強不足か?あるいは日本人特有の「悪い癖」か・・・。ともかく次回の「春木の定理」と合わせて紹介。

 これってまあ単なる「打ち込み」状態だけど,知識の整理と遊ぶ準備,おもちゃをまずは揃える所から始めてるつもりです。そのうち色々遊んでみましょう。
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 円Oの2つの弦AB,CDと円上の点Pを考えます。 ただし,PはA,B,C,D以外の点としましょう。  PC,PDとABの交点をQ,Rとすると,点Pの位置によらず,AQとRBの積とQRの比は一定の値をとります。

 例によって証明はどこかで・・・。いずれ作ってあるpdfファイルをどこかに置きましょう。





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アルキメデスのBroken-Chord定理について [ロバの耳]

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 さてさて何日か前に書いたアルキメデスのBroken-Chord定理ですが,これは何かの弾みで検索していて見つけたものです。
 実はそれまではアルキメデスなんて裸で走った変なおじさんで,まあ確かに地面に幾何の問題をウンウン唸りながら描いているところを兵隊さんに殺られちゃったわけだけど,別段大した事無いんだろうなんて思ってました。小峰元という人の「アルキメデスは手を汚さない」という推理小説ぐらいで紹介されたような事しか知らなかったわけです。
 でもって,気になって色々調べたのですが(ってたかが知れてますが・・・大学図書館にも行ってないし)何故この定理が「アルキメデスの」と言われるのかが判りません。
 仕方なしに買った,Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry (New Mathematical Library) というPaperback(Ross Honsberger著)には確かにアルキメデスが・・・とは書いてありますが,何を根拠にしているのか判りませんでした。というのも出典がちゃんと書いてなかったからです。仕方なしに,今度はアルキメデスの遺したモノを漁りました。というわけで,補助定理集を適当に訳してLaTeXで仕上げるなんて事も一昨年にしたわけですが・・・。
 未だにモヤモヤしています。結構美しい定理だと思うのですが,どなたか出典をご存じないでしょうか。きっとそこには他にもまだ僕の知らない美しい定理なんかがあるのではないかと思ったりします。ではでは。また明日。

 ちなみに,早速「丹後のページ」で取り上げていただきました。ページを立ち上げた甲斐があるというもので感謝です。

 補助定理集(Book of Lemma)については,便利な世の中なので, The Works Of Archimedes (1897)Author: Heath,T.L.という所からpdfを戴いて訳しましたとさ。いずれにせよ,アラブ圏(というかイスラム圏)に伝わっているような話だからそっち系の資料が観たいのだけど,流石に便利なネットでも僕にはまだ難しい。どこかに転がってないかなあ。何処に尋ねれば観せて貰えるだろう。
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De Villiersって誰だろう?どんな人だろう [ロバの耳]

 今日の初等幾何の豆知識は,次のような定理です。四辺形だし,対角線の長さが等しい四辺形を考える時に有効かなあと思い,ストックしておきます。

 例によって証明は載せませんが,トラックバックやコメントに書き込んでいただければ幸いでしょう。
(って誰が幸いかって言えば,ここを見に来てはみたものの証明が不発に終わった人には!)

texshop_image_240.jpg
 
辺AB,CDが平行ではない四辺形ABCDにおいて,ABとCDの延長線の交点をSとします。  対角線AC,BDと辺DCに対して,∠APC=∠BPDを満たす点Pを,辺BCに対して,Sと同じ側にとります。このとき,三角形AQD,三角形ARCが三角形BPDと相似になるような点Q,Rを辺BCに対してSと同じ側にとれば,4点P,Q,R,Sは一直線上にある(共線である)ことを説明しなさい。

胡蝶定理 [ロバの耳]

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 円Oにおいて,弦ABを引き,その中点をMとする。  さらに,Mを通る任意の2つの弦PQ,RSを引く。  これらの弦の端点PとR,QとS を結び,弦ABとの交点をそれぞれC,Dとする。  このとき,Mは線分CDの中点となる。

texshop_image.jpg
 胡蝶定理(Butterfly Theorem)と呼ばれる。美しい定理です。検索してみると結構な解説があります。


アルキメデスのBroken-Chord定理 [ロバの耳]

texshop_image_200.jpg
さて,何と訳せば良いやら・・・っていう,かのArchimedesの遺したとされる初等幾何の定理の1つです。
 三角形ABCとその外接円を考える。弧BACの中点をPとし,PからABまたはACへ下した垂線の足をMとすると,MはBACを二等分する。(図では,BM=MA+ACということ。)

証明はまたどこかで。
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