いくらなんでも幾何

点Aから円に２本の接線を引く。 点BとCは接点。 線分ABの中点からCに直線をひく。 円とこの直線との交点をDとする。 三角形ADCの外接円は直線ABに接することを説明してチョ。

　さてさて，しばらく間が空きましたが。別段飽きたわけではありません。ネタもまだまだありますので，備忘録代わりに。前回苦し紛れにテキストだけで出題した問題ですが，きちんと？TeXで打ち直しました。その内の図の部分は画像で，問題文は以下に載せます。

　図のように点Aから円Oに２本の接線を引きます。点BとCは接点。線分ABの中点MからCに直線を引きます。円とこの直線MCとの交点をDとしましょう。 　三角形ADCの外接円は直線ABに接することを説明して下さい。

　さてさて，如何でしょう。

　このような図をTeXで描く為のqbGraphという自家製のMacro集なんですが，作図するにあたっては，基本的に点の設定をしたあとは，分点や垂線の足，2点からの距離で点を決める（つまり，2つの円の交点）などの，いわゆる作図（直定規とコンパスによる作図）が基本なんです。この問題の図の場合，適当に点AとOを決めて，円Oの半径を決めて，Aから円Oへの接線の接点が決まり，直線ABやACを引いて，ABの中点Mをとって，・・・。

　その次に，MCと円Oとの交点Dはどのようにとるでしょうか。実は今回は，OからMCに垂線を下ろし，その足をNとして（図示はしていません），Nに関してCと対称な点をDとしています。これって問題のヒントですか？そーですか？いや，違いますか？

　ってこのあたり「作図の要領をいろいろ知りたい」がこのblogの動機なんですって言う話です。自家中毒？

某所で見掛けた問題です。有名なのだろうか。図書館で調べると案外載っていたりして。
とにかく問題は次の通りです。

　図のように円Oと円周上の点Pで接する直線Lを描きます。 円Oの中心とPを結ぶ線分を直径とする円Aを描き，円Aに外接して，円Oに内接する円Bを描きます。 円Bと円Oの接点をQとして，円Oに点Qで外接し直線Lに接する円Cを描きます。
　このとき，円AとBに外接し円Oに内接する円のうち直線Lに近い方の円をX， 円CとOに外接し直線Lに接する円のうち点Pに近い方をYとすると， 円Xと円Yは（円Oの円周上の点で）接することを説明して下さい。

円と六角形のチェバの定理のような定理なんです。



例によって証明はまた別の機会に。今回は分数が出てくるので問題もTeX文書の切り抜きで。Mac上のTeXなんですが，ファイル自体はWindowsでも何でも処理できます。でもMac上のシステムだと最終はpdfに処理されます。で，それを切り抜いたpdfなんてのが簡単にできて，そいつをjpegで保存して，適当な大きさにリサイズしてます。

面積の比ですが，印象はチェバメネラウス？春木系？かなあ。

とにかくこのサーバーの調子が変でこんな時間になりました。


問題はこんな感じ。やっぱり分数式があるので，テキストではなくTeXを画像にしたものです。

　次の図のように，半円に内接してお互いに接する同じ半径の2つの円を考えます。半円の直径をABとし，中の2つの円の接点をPとし，中の2つの円のBに近い方の円と半円の接点をQとするとき，3点A,P,Qは一直線上に並ぶ事を証明しなさい。

　前出のアルキメデスの補題集を作っていた時に考えた（らしい）問題です（多分）。作った本人がすっかり忘れていますが，ファイルは忘れません。有り難い話です。出典は無かった筈です。適当に練習問題が要るよなあって思って作った問題のはず。なのですが・・・。もちろん解答なんかは付けていません。考えてみて下さいね。

　って中の円は同じ半径じゃないと駄目なのかなあ？

土日と？サボってしまいました。なかなか毎日の更新というのは難しいものだなあと熟思いました。って熟は「つくづく」を林檎ちゃんが変換したわけですがこれは知らなかった。って話はおいといて，



ABを半円の直径とします。点Bでの接線と,この半円弧上の点Cでの接線の交点をTとします。点Cから直径ABに下した垂線の足をDとし,ATとCDの交点をEとすると,EはCDを二等分します。



簡単だけど美しいLemmaです。教科書的な配列で，古のアラビアの数学屋さんの工夫？に興味津々。

ArchimedesのBook of Lemmaを折角訳してテキストにするからと，自前で作った問題（の筈）です。如何？

【問題】
ABを直径とする円において,図のように直径ABと直径に垂直な弦をCDとします。点Bでの円の接線と,点Cでの円の接線との交点をPとし,APとCDの交点をQとしましょう。このとき，CQ:QDを求めなさい。

　さて，Book of Lemma（補助定理集？）と呼ばれる書物はどのようにして伝わったのでしょうか。アラビアの学者がアルキメデスの業績からまとめたものだとか。それにしては定理の数は少ない。現物（そのアラビアの書物）を観てみたい。archimedesの著作についてはPalimpsestというものがあって，現在解明研究サルベージが進行中とか。そう言う意味では愉しみです。

　というわけで，第三弾。どうぞ。


円弧AB上の点Pに対して,点Pから弦ABに下した垂線の足をHとします。AB上に点CをAH=HCとなるようにとります。円弧PQを円弧APと等しくなるように点Qを円弧PB上にとると,BQ=BCとなります。



これもなかなかに美しいとは思いませんか？そうですか。いやはや，なんとも。

このブログの話題からは少し離れるかもしれないんだけど・・・。

WIRED VISION "アカルイ"未来を考えるサイトhttp://wiredvision.jp/
というのがあって，そこで，「教育制度批判」という興味深いコラムが連載されています。
いやはや，なかなかに辛辣風味で面白いのです。
で，今回の中身はと言うと，義務教育では嘘を承知で「来るべき良質な国民」を育てるべく詰め込みでも何でも，綺麗事を刷り込んで，刷り込み具合を認定試験でテストして終了させて，それ以上の高校では，「そんなの嘘だピョーン」と真実を教え・・・という具合な痛快な記事です。

でもまあ，一つだけ苦言を申せば，「いかにも文系？あるいは理系ドロップアウト？」的な発想＋「大学入試向け授業のみ受けて来た方？」的な見方に偏っていて，ちょっと困ります。

というのも，例えばここ「いくらなんでも幾何」で紹介している「古の幾何学」的なお話はすべて数学の基礎知識として「大切な事」だと思うのです。戦後すぐの教科書を見ると，ここで紹介しているような中身が随分と沢山しかも詳細に高等学校で扱われていて，なおかつそれは，数学の修練もですが，どちらかといえば，論理的な思考，推論や条件の確認といった，およそ「良質な大人」として備えるべき「マトモな思考」の鍛錬を想定したカリキュラムとして扱われている様子だからです。

確かに「古の幾何学」が何か具体的に「役に立つ」ことは少ないかもしれませんが，少なくとも「論理の筋道」をなぞる所謂「塗り絵」的な意味では密かに十分役に立ち，尚かつ他に適当な教育手段が見当たらないのではないでしょうか？と問い掛けたいと思います。直接返事が返ってくるか，コラムで取り上げられるか，無視されるか，まあいずれにせよどうでもよいのですが，とにかく一言書かずにはいられないので，書いてみました。

それにしても「アカルイ」未来というのが「嗚呼軽い未来」と読めてしまう不幸よ！って感じかも。

さてさて，Gogeometryを久々に観たらば問題が増えていました。
その内の1つが，


　図のように,正三角形ABCの内部に点Dをとり,頂点A,B,Cからの距離をa,b,cとします。このとき,aの自乗の値が，bとcの自乗の和に等しい（つまり，直角を挟む2辺の長さがb,cで斜辺がaとなる直角三角形が存在する場合）角BDCは 150度であることを説明して下さい。

という問題です。

　同じ図を使って，b=3,c=4,a=5のとき，この正三角形ABCの面積を求めなさい。という問題はここ数年のお気に入りな問題の1つです。いやあ，楽しい。 ・・・って次の102番が正にこの面積を求める問題でした。やっぱりね？って言う感じですけど・・・。発想は同じかあって感じですね。

　ところで，海外のサイトで初等幾何の図を見ると，三角形の場合は特に記号の付け方に違和感を感じます。三角形の場合反時計回りにABCの順って言うのは，我が国だけの（緩い）約束なんでしょうか。

「あそびをせんとや」http://www.lcv.ne.jp/~hhase/さんのページは最近お忙しいようで更新が途切れがちですが，面白い話題が多いので僕にはネタの泉です。

今日はそのうちから，最新？の問題を1つ。

　2点間の距離が2種類しかないように、平面上に4点を配置する方法をできるだけたくさん見つけてください。

　さて，幾つ思いつきますか？なぜこの問題を載せるかって？
だって四つの点ですよ。結べば四辺形になります。
つまり，辺と対角線の長さが2種類しか無い四辺形って話だし・・・。

　四辺形の分類として，「辺と対角線の長さが何種類あるか？」ってのは指標に入れたら面白そうだなあ，なんてね。整っていない四辺形をイメージしたとき，まずは，辺の長さが色々だって思いませんか？もちろん角度もだけど。ただ，この問題を角度で問うとあまり面白くありません。って角度だし。

　一番整っている四辺形としてイメージされる正方形の場合は四辺の長さがすべて等しく，対角線が辺の長さのルート2倍ですから，題意を満たします。これはまあ当然として，あと何種類？じゃないなあ，どんな性質を満たす四辺形が題意を満たすか？っていうことなんですが・・・。

　ここ（僕）とは違って，「あそびをせんとや」さんにはちゃんと「答え」があります。いや，ここ（僕）だって答えは大事だって思ってはいるのですけど・・・。何度も書くように備忘録。ネタ帳ですから何分。

　早速この問題にも反応頂けたようですが，気になるのでこういう問題の考え方を紹介します。ちなみに，戦後すぐの高校教科書にはこの手の手法がきちんと紹介してあります。



　さて，図を見て下さい。判り難い方は，元の図の正三角形をBの周りに60度回転させて描き加えたと考えれば納得がいくでしょうか。図では，内部の点Dを反時計回り，時計回りに60度回転させた点をE,Fとして，AEBFCの順に線で繋いで，EDFの順に線で繋いで，2つの正三角形BED，BFDを作りました。このとき条件から，AED，CFDは直角三角形になります。よって，角BDCは150度なんですけど・・・。

　「回転」して重ねる。結構大事な発想ではないかなあ。

　さてさて，これもBook of Lemmaの練習題です。

半径3で中心角90度の扇形OABを考えます。ここでOは扇形の基になる円の中心とし,ABは円弧としましょう。
円弧ABを三等分する点のうちAに近いものを点Cとします。CからABに下した垂線の足をHとし,点Hに関してAと対称な点をPとするとき,OPの長さを求めて下さい。


　

さて，ストックからの放出が続きます。今晩は補助定理の8番。何故番号が飛ぶのかと言うと，4番から6番はいわゆる「靴屋のナイフ」という有名な問題なので後回し。7番もあるけど，今ひとつパッとしない。で，8番です。これってもしかして角の三等分?って感じの面白い定理です。



　ABをOを中心とする円の弦とします。ABを延長し,BCが円Oの半径と等しくなるようにとります。COと円Oの交点をD,更にCOを延長して再び円Oと交わる点をEとします。このとき,弧AEは弧BDの三倍になります。

　これも美しいシンプルな定理です。美しいものを集めてある意図は何だったのでしょうか。とにかく御紹介。

　円の直交する2本の弦をAB，CDとするとき，弧ACと弧BDの長さの和と弧ADと弧BCの長さの和は等しい。

　さて，昨日の補助定理9番ですが，証明は至って簡単明瞭です。まずは図をご覧下さい。



　昨日の図に弦に直交する直径を引きます。このとき，同じ長さの弧が3組？確認できますか？
　そうすると，補助定理は明らかになるでしょう。
　定理自身も明瞭簡明ですが，この証明もまた簡単明瞭一目瞭然。円だから直径を意識する。どうせなら直交がいいかな？という感じでしょうか。所謂補助線というより，分析する為に何をするのかっていう，とても良い教材ではないでしょうか。そう言う意味でも，この補助定理集！編纂が見事です。やはり，編者の意図とどのように使われたのかっていう点が気になります。

　円上の点A,B,Cについて,TA,TBが円の接線となり,TCは線分ABを横切るものとします。BDをTCと平行な弦とし,ADとTCの交点をEとします。EからBDに下した垂線の足をHとすると,HはBDを二等分します。

さて，いよいよ11番目の補助定理です。

なんでぶっ飛ぶのかな？テキストがぶっ飛んでますね。

　円の弦AB,CDは互いに直交し，いずれも中心を通らないものとします。このとき,ABとCDの交点をOとすれば, OA,OB,OC,ODの自乗の和は，円の直径の自乗に等しい。

　

　今日は12番。順に紹介しているのでもう残りわずかです。

　ABを半円の直径とします。TP,TQは半円の外部の点Tから半円への接線とします。AQとBPが交わるとき,交点をRとします。このとき,TRはABと垂直になります。

　うーん。何の役に立つのだろう?っていうことも考えたくなります。でも面白い。別段むずかしいというわけでは無いのです。なぜ，これらの定理が集められたのかですね。そこが知りたい。