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複素数っていうのは,実数$a,\ b$があって,$i^2=-1$を満たす虚数単位$i$に対して \[ z=a+bi \] で定義される数。 演算は$ z=a+bi,\ w=c+di $に対して,加法と乗法は \[ \times \] \[ z+w=(a+c)+(b+d)i ,\ z \times w=(ac-bd)+(ad+bc)i \] となるので, \[ z+0=0+z=z,\ \ z\times 0=0\times z=0 \] \[ z\times 1=1\times z=z \] が成り立ち, \[ z+(-z)=(-z)+z=0 \] \[ z\ne 0のとき,\ z\times\frac{1}{z}=\frac{1}{z}\times z=1 \] も成り立ち,複素数体$\mathbb{C}$が定義されます。 特に乗法の逆元$z^{-1}$については, \[ z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{a^2+b^2} \] ここで,複素数$z$の大きさを$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$, $z$の共役複素数$\overline{z}$を$\overline{z}=a-bi$と定義しておけば, \[ z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2} \] となります。
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